인구추정방법 중 최소자승법은 앞에서 정리한 등차급수법, 등비급수법, 지수함수법과 비교하면 꽤 복잡하다. 또한, 제시된 인구변화 추이가 홀수인지 짝수인지에 따라 문제를 해결하는 방식이 달라진다.
| [목차] 1. 최소자승법의 개념 2. 제시된 인구변화추이가 홀수인 경우 3. 제시된 인구변화추이가 짝수인 경우 |
| 1. 최소자승법의 개념 |
최소자승법에 의한 인구 추정은 인구 증감이 교차되는 도시에 적합한 추정 방법이라고 할 수 있다. 그렇기에 대부분의 도시에서 인구 추정이 가능하며, 비교적 정확한 인구 추정이 가능하다는 장점이 있다.
반면 이를 구하는 식은 다소 복잡한 편이다.
먼저, 인구를 구하는 공식은 다음과 같다.
y는 n 년도의 추정인구이고, a는 기준연도의 이론적 인구를 말한다. b는 단위기간(1년을 기준으로 함)의 절대 인구 증가 수를 의미하고, x는 기준연도에서 추정 연도까지 경과한 연수를 의미한다. 이렇듯 최소자승법을 이용한 인구 추정 식은 매우 간단하다. 하지만 각각의 a와 b를 구하는 공식이 다소 복잡하다.
그럼. 기준연도의 이론적 인구(실제 인구)와 단위기간(1년)의 절대 인구 증가 수는 어떻게 구할까?
기준연도의 이론적 인구(실제 인구)는 위와 같은 공식으로 구할 수 있으며,
단위기간(1년)의 절대 인구 증가 수는 위와 같은 공식으로 구할 수 있다.
하지만, 위와 같은 공식으로 a, b를 구하기에는 수식이 너무나 복잡해진다.
"이를 간단히 하기 위해
으로 만들면 a와 b를 아래와 같이 간단히 할 수 있다."
이렇게 a와 b를 간단히 정리하면, n연도의 추정인구 "y"는 각 항의 합을 구함으로써 쉽게 정리할 수 있다.
| 2. 제시된 인구변화추이가 홀수인 경우 문제풀이 |
| 연도 | 인구(만인) | 연도 | 인구(만인) | 연도 | 인구(만인) | 연도 | 인구(만인) |
| 2005 | 73.0 | 2008 | 81.0 | 2011 | 82.5 | 2014 | 86.0 |
| 2006 | 76.0 | 2009 | 81.5 | 2012 | 84.0 | 2015 | 86.5 |
| 2007 | 79.0 | 2010 | 82.0 | 2013 | 85.5 |
위와 같이 최근 11년간의 인구가 주어지고, 최소자승법을 활용하여 2025년의 인구를 추정해보고자 한다. (단, 기준연도는 2005년이고, 계산은 소수정 넷째 자리에서 반올림, 최종 인구의 소수점은 둘째 자리까지 구함)
[풀이]
1. 먼저 표를 이용하여 y, x, x2, xy를 각각 정리하고 합을 구한다.
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| 2005 | 25 | -5 | 73.0 | -365 |
| 2006 | 16 | -4 | 76.0 | -304 |
| 2007 | 9 | -3 | 79.0 | -237 |
| 2008 | 4 | -2 | 81.0 | -162 |
| 2009 | 1 | -1 | 81.5 | -81.5 |
| 2010 | 0 | 0 | 82.0 | 0 |
| 2011 | 1 | 1 | 82.5 | 82.5 |
| 2012 | 4 | 2 | 84.0 | 168 |
| 2013 | 9 | 3 | 85.5 | 256.5 |
| 2014 | 16 | 4 | 86.0 | 344 |
| 2015 | 25 | 5 | 86.5 | 432.5 |
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110 | 0 | 897 | 134 |
제시된 인구변화추이 연수가 홀수인 경우 그 중심에 있는 연도를 기준연도로 계산을 시작하면 수월하게 계산할 수 있다.
그럼. 각각 a와 b를 구해보면
a(기준연도의 실제적 인구. 즉, 2010년의 실제 인구)는 위와 같이 계산하여 81.545를 구할 수 있고,
b(단위기간(1년)의 절대인구 증가수)는 위와 같이 계산하여 1.218을 구할 수 있다.
이제 a와 b를 각각 구했으니, 추정인구 식에 대입하여 아래아 같이 추정인구를 구하면 된다.
이제 x를 적용하면 되는데, 중요한 부분은...
문제를 해결하는 과정에서 기준연도를 2010년으로 했다. 하지만 문제에서는 기준연도를 2005년으로 하라고 제시되어 있으니, 기준연도를 '-5년' 만큼 계산에 반영해야 한다.
즉, 위와 같은 계산식을 만들 수 있고, 이를 풀면 아래와 같다.
| 3. 제시된 인구변화추이가 짝수인 경우 문제풀이 |
| 연도 | 인구(만인) | 연도 | 인구(만인) |
| 2005 | 73.0 | 2008 | 81.0 |
| 2006 | 76.0 | 2009 | 81.5 |
| 2007 | 79.0 | 2010 | 82.0 |
위와 같이 최근 6년간의 인구가 주어지고, 최소자승법을 활용하여 2020년의 인구를 추정해보고자 한다. (단, 계산은 소수정 둘째 자리까지 구하고, 최종 인구의 소수점은 버림)
[풀이]
1. 먼저 표를 이용하여 y, x, x2, xy를 각각 정리하고 합을 구한다.
이때, 주어진 인구변화 연수가 짝수이기 때문에 기준연도의 이전 이후를 같은 연수로 할 수 없다. 이를 해결하기 위해 중간에 기준연도를 하나 추가할 수 있는데 방법은 다음과 같다.
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| 2005.7 | 25 | -5 | -2.5 | 73.0 | -365 |
| 2006.7 | 9 | -3 | -1.5 | 76.0 | -228 |
| 2007.7 | 1 | -1 | -0.5 | 79.0 | -79 |
| 2008.1 | 0 | 0 | 0 | - | - |
| 2008.7 | 1 | 1 | 0.5 | 81.0 | 81 |
| 2009.7 | 9 | 3 | 1.5 | 81.5 | 244.5 |
| 2010.7 | 25 | 5 | 2.5 | 82.0 | 410 |
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70 | 0 | 0 | 472.5 | 63.5 |
즉, 인구변화추이 제시 연도에 월을 추가하여 제시된 월을 모두 7월로 통일한다. 그리고 중간 위치에 1월의 인구를 추가하면 홀수로 만들 수 있다는 것이 중요한 사항이다.
그럼, a와 b를 각각 구해보면,
위 식에 따라 a의 값 78.75를 구할 수 있고,
위 식에 따라 b의 값 0.9를 구할 수 있다.
이제 a와 b를 각각 구했으니, 추정인구 식에 대입하여 아래아 같이 추정인구를 구하면 된다.
먼저 a와 b에 각각 78.75와 0.9를 대입한다.
이때 x는 6개월 단위를 기준으로 산정한 것이기 때문에 2배를 해줘야 1년 단위 기준으로 계산 가능하다.
다음으로 기준연도가 1월로 되어 있으므로 다른 연도와 맞추기 위해 x에 -0.5를 해줌으로써 각 연도별 7월 기준으로 식을 완성할 수 있다.
그럼. 2007년 기준 2020년 추정인구를 구해야 하므로, x에 13을 적용하여 식을 계산하면 101.25을 도출할 수 있고, 소수 이하를 버리면 101(만인)의 값을 도출할 수 있다.
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